Равенство классов P и NP

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

В теории алгоритмов вопрос о равенстве классов сложности P и NP является 
одной из центральных открытых проблем уже более трех десятилетий. Если на 
него будет дан утвердительный ответ, это будет означать, что теоретически 
возможно решать многие сложные задачи существенно быстрее, чем сейчас.

Классы P и NP
В конечном счете проблема P = NP состоит в следующем: если положительный 
ответ на какой-то вопрос можно быстро проверить (за полиномиальное время), 
то правда ли, что ответ на этот вопрос можно быстро найти (за 
полиномиальное время и используя полиномиальную память)?

Проще говоря, действительно ли задачу легче проверить, чем решить?

Например, верно ли, что среди чисел {-2, -3, 15, 14, 7, -10, …} есть такие, 
что их сумма равна 0 (задача о суммах подмножеств)? Ответ да, потому что 
-2 -3 + 15 -10 = 0 легко проверяется несколькими сложениями (информация, 
необходимая для проверки положительного ответа, называется сертификатом). 
Следует ли отсюда, что так же легко подобрать эти числа? Проверить 
сертификат так же легко, как найти его? 
Кажется, что подобрать числа сложнее (не доказано).

Содержание проблемы


Диаграмма классов сложности при условии P /= NP.

Отношения между классами P и NP рассматриваются в теории вычислительной 
сложности (разделе теории вычислений), изучающей ресурсы, необходимые 
для решения некоторой задачи. Наиболее общие ресурсы — это время 
(сколько нужно сделать шагов) и память (сколько памяти потребуется для 
решения задачи).

История
Из определения классов P и NP сразу вытекает следствие: . 
Однако до сих пор ничего не известно о строгости этого включения, 
т. е. существует ли алгоритм, лежащий в NP, но не лежащий в P. Если 
такого алгоритма не существует, то все задачи, принадлежащие классу NP, 
можно будет решать за полиномиальное время, что сулит огромную выгоду 
с вычислительной точки зрения. Сейчас самые сложные задачи из класса 
NP (так называемые NP-полные задачи) можно решить за экспоненциальное 
время, что почти всегда неприемлемо.

Впервые вопрос о равенстве классов был поставлен независимо Стивеном Куком 
в 1971 году и Леонидом Левиным в 1973. В настоящее время большинство 
математиков считают, что эти классы не равны. Согласно опросу, 
проведённому в 2002 году среди 100 учёных, 61 человек считает, что ответ — 
«не равны», 9 — «равны», 22 затруднились ответить и 8 считают, что гипотеза 
не выводима из текущей системы аксиом и, таким образом, не может быть 
доказана или опровергнута.

В настоящий момент проблема равенства классов P и NP является одной из 
семи задач тысячелетия, за решение которой Математический институт Клэя 
назначил премию в миллион долларов США.

источник: ru.wikipedia.org